高次冪剰余の相互法則(1)


\newcommand{\gal}{\mathrm{Gal}}
数論をしばらく勉強していなかったら完全に忘却してしまったので復習がてら記事を書きます. 高次冪剰余の相互法則というのは所謂平方剰余の相互法則と呼ばれる整数論の有名な定理の一般化で, この法則を解明するのが長い間整数論の発展の大きな動機となってきました. 今回は話を単純にするため, 本記事内では体の標数はすべて0とします.

Galoisコホモロジー

ここではGaloisコホモロジーの理論の一部のみを紹介します. (というか実際のところ, 私自身Galoisコホモロジーの理論をほとんど知りません.) 目標は標数0の局所体の指数nの最大Abel拡大のGalois群を調べることです
L/KをGalois拡大とし, G=\gal(L/K)とします. またAG加群, 即ちGが作用するAbel群とします.(ここでは演算は加法的に書くこととします.) このとき以下のように2つの群を定義します:

\begin{align}
&Z^1(L/K,M)\\
&:= \{h:G\to M\mid \forall\sigma,\tau\in G, h(\sigma\tau)=h(\sigma)+\sigma(h(\tau))\}\\
&B^1(L/K,M)\\
&:= \{h:G\to M\mid \exists a\in M \,\text{s.t.}\forall\sigma\in G, h(\sigma)=\sigma(a)-a\}
\end{align}
Z^1,B^1の元のことをそれぞれ1-cocycle, 1-coboundaryと呼びます. ここで, 以下の事実が簡単にわかります:


命題
(1) Z^1,B^1は点ごとでの演算により群をなす.
(2) B^1Z^1の部分群である.

証明.
(1)h_1,h_2\in Z^1(L/K,M)をとると\sigma,\tau\in Gに対して

\begin{align}
(h_1+h_2)(\sigma\tau)&=h_1(\sigma\tau)+h_2(\sigma\tau)\\
&=h_1(\sigma)+\sigma h_1(\tau)+h_2(\sigma)+\sigma h_2(\tau)\\
&=(h_1+h_2)(\sigma)+\sigma(h_1+h_2)(\tau)
\end{align}
B^1に対しても同様. Q.E.D.
(2)B^1(L/K,M)\ni h:\sigma\mapsto \sigma a-a \,(a\in M)とすると

\begin{align}
h(\sigma\tau)&=\sigma\tau a-a=\sigma\tau a-\sigma a+\sigma a-a\\
&=\sigma h(\tau)+ h(\sigma)
\end{align}
よりhは1-cocycleである. Q.E.D.

ここでMの1次Galoisコホモロジー\mathrm{H}^1(L/K,M)
\displaystyle
\mathrm{H}^1(L/K,M):=Z^1(L/K,M)/B^1(L/K,M)
と定義します.
ここでここまでに定義したGaloisコホモロジー群の性質を見ていきます.


命題(コホモロジーの関手性)
\varphi:A\to BG加群の射であるとき\varphi_\ast:\mathrm{H}^1(L/K,A)\to\mathrm{H}^1(L/K,B)が自然に誘導される.

証明.
h\in Z^1(L/K,A)とすると\psi:=\varphi\circ h:G\to Bは1-cocycleであることを示す. \sigma,\tau\in Gに対して

\begin{align}
\psi(\sigma\tau)&=\varphi(h(\sigma\tau))\\
&=\varphi(\sigma h(\tau)+h(\sigma))\\
&=\sigma\psi(\tau)+\psi(\tau)
\end{align}
であるので\psiは1-cocycleである. これが群の射であることも容易にわかるので\varphi':Z^1(L/K,A)\to Z^1(L/K,B)が定義できる. \varphi'(B^1(L/K,A))\subseteq B^1(L/K,B)であることも同様に示せるので, \varphi'から射\varphi_\ast:\mathrm{H}^1(L/K,A)\to\mathrm{H}^1(L/K,B)がwell-definedに定まる. Q.E.D.

一般にG加群Mに対してそのG不変な部分加群
\displaystyle
M^G:= \{a\in M\mid \forall\sigma\in G, \sigma a=a\}
とすると, この関手は左完全であることがわかります.


命題
\displaystyle 0\to A\overset{\varphi}{\to}B\overset{\psi}{\to} C\to 0G加群の完全列であるとき, 自然に誘導される射\varphi_0,\psi_0から構成される列\displaystyle 0\to A^G\overset{\varphi_0}{\to}B^G\overset{\psi_0}{\to} C^Gも完全列である.

証明.
A^Gでの完全性は\varphi_0単射性と同値であり, これは\varphi単射性より明らかである. B^Gでの完全性を示す. \mathrm{Im}\varphi_0\subseteq\mathrm{Ker}\psi_0は明らかなので逆の包含関係を示す. b\in\mathrm{Ker}\psi_0とするとb\in\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Im}\varphiより, あるa\in Aが存在して\varphi(a)=bとなる. a\in A^Gが示されればb\in \mathrm{Im}\varphi_0がわかるのでこれを示す. もしa\notin A^Gであったと仮定すると, ある\sigma\in Gが存在して\sigma a\neq aとなる. \varphi単射なので
\displaystyle b=\varphi(a)\neq \varphi(\sigma a)=\sigma\varphi(a)=\sigma b
となるがこれはb\in B^Gに反する. Q.E.D.


命題
G加群の完全列
\displaystyle 0\to A\overset{\varphi}{\to}B\overset{\psi}{\to} C\to 0
が存在したとき, 標準的な射\delta:C^G\to\mathrm{H}^1(L/K,A)が存在する.

証明.
\psi全射性より, 任意のc\in C^G\subseteq Cに対して\psi(b)=cなるb\in Bが存在する. ここで\sigma\in Gに対して\alpha_\sigma:=\sigma b-bというBの元を考える. このとき
\displaystyle\psi(\alpha_\sigma)=\sigma\psi(b)-\psi(b)=\sigma c-c=0
より\alpha_\sigma\in \mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Im}\varphiなので, あるa_\sigma\in Aが存在して\alpha_\sigma=\varphi(a_\sigma)となる. ここでa:G\to A;\sigma\mapsto a_\sigmaが1-cocycleとなっていることを示そう. \sigma,\tau\in G
に対して

\begin{align}
\varphi(a(\sigma\tau))&=\sigma\tau b-b\\
&=\sigma\tau b-\sigma b+\sigma b-b\\
&=\sigma(\tau b-b)+\sigma b- b\\
&=\sigma\varphi(a(\tau))+\varphi(a(\sigma))\\
&=\varphi(\sigma a(\tau)+a(\sigma))
\end{align}
となり, \varphi単射性よりaは1-cocycleであることがわかる.
\displaystyle \delta:C^G\to\mathrm{H}^1(L/K,A);c\mapsto a
が求めるべき射である. Q.E.D.

ここで非常に重要な次の定理を示せます:


定理(コホモロジー長完全列)
G加群の完全列
\displaystyle 0\to A\overset{\varphi}{\to}B\overset{\psi}{\to} C\to 0
が存在したとき,
\displaystyle 0\to A^G\overset{\varphi_0}{\to}B^G\overset{\psi_0}{\to} C^G\overset{\delta}{\to}\mathrm{H}^1(L/K,A)\overset{\varphi_\ast}{\to}\mathrm{H}^1(L/K,B)\overset{\psi_\ast}{\to}\mathrm{H}^1(L/K,C)
は完全列である.

証明.
単純なので略.


Galoisコホモロジーに関する有名な定理として体の乗法群をG加群とみなしたときのGaloisコホモロジー群の消滅を主張するHilbertの定理90があります:


定理(Hilbertの定理90)
Galois拡大L/Kに対して\mathrm{H}^1(L/K,L^\times)=1が成立する.

ここでは証明はしません. 証明は[3]の4.13節等を参照してください.

Galoisコホモロジーを使ってみる

nを固定した3以上の整数, Kは1のn冪根を含む標数0の局所体, 即ち\mathbb{Q}_pの有限次拡大体とし, L=K(\sqrt[n]{K})とします. ここでK(\sqrt[n]{K})K

\{\sqrt[n]{a}\mid a\in K\}

を添加した体とします. これは無限次拡大になりそうに見えるかもしれませんが, 局所体の乗法群の構造定理([1] II章 命題5.7参照)より, ある整数mに対して


K^\times\simeq \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\oplus{\mathbb{Z}_p}^{\oplus [K:\mathbb{Q}_p]}
となるのでこれは有限次拡大になります. ここで\mu_nを1の冪根がなす群として, 以下のような完全列を考えてみましょう:
\displaystyle
1\to\mu_n \overset{\iota}{\hookrightarrow} L^\times \overset{\varphi}{\to} L^{\times n}\to 1
ここで

\displaystyle
L^{\times n}=\{ a^n\mid a\in L^\times \}
であり,

\varphi:a\mapsto a^n
とします. これのコホモロジー完全列を取ることを考えましょう. 簡単な計算により


\begin{align*}
\mu_n^G&=\mu_n\\
(L^\times)^G&=K^\times\\
(L^{\times n})^G&=K^\times
\end{align*}
がわかります. また, Hilbertの定理90より
\mathrm{H}^1(L/K,L^\times)=1
もわかります. よって上の完全列のコホモロジー完全列を取ると

 \displaystyle
1\to \mu_n\overset{\iota}{\to} K^\times\overset{\varphi_0}{\to} K^\times\overset{\delta}{\to}\mathrm{H}^1(L/K,\mu_n)\overset{\iota_\ast}{\to}1
となります. (最後の項は使わないので省略しています.) ここで見慣れないのは\mu_nコホモロジーだけですが, これをなにかわかりやすいもので記述できないでしょうか? Z^1(L/K,\mu_n),B^1(L/K,\mu_n)を詳しく見てみましょう. \mu_nKに含まれているのでL/KのGalois群は自明に作用する, 即ち任意の\sigma\in G=\mathrm{Gal}(L/K), \zeta\in \mu_nに対して
\sigma\zeta=\zeta
が成り立つことと, \mu_nの群演算が乗法的に表されていることに注意すると


\begin{align*}
h:G\to\mu_n\in Z^1(L/K,\mu_n)&\Leftrightarrow \forall\sigma,\tau\in G, h(\sigma\tau)=h(\sigma)\sigma h(\tau)=h(\sigma)h(\tau)\\
h:G\to\mu_n\in B^1(L/K,\mu_n)&\Leftrightarrow \exists \zeta\in\mu_n\mathrm{s.t.} h(\sigma)=\frac{\sigma\zeta}{\zeta}=1
\end{align*}
となります. 即ち, 1-cocycleであることはGから\mu_nへの群準同型であることと, また1-coboundaryであることは自明な準同型であることと同値なのです. これにより

\displaystyle
\mathrm{H}^1(L/K,\mu_n)\simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{Grp}}(G,\mu_n)
がわかります. ここで上の完全列に戻って, $\delta$に対して伝家の宝刀「準同型定理」を使ってみましょう. すると
\displaystyle
\mathrm{Hom}_{\mathrm{Grp}}(G,\mu_n)\simeq K^\times/\mathrm{Ker}\delta=K^\times/\mathrm{Im}\varphi_0\simeq K^\times/K^{\times n}
が得られます. ここで\mu_n\simeq\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}より以下の定理が得られます:


定理
 G:=\mathrm{Gal}(K(\sqrt[n]{K^\times})/K)とすると
\displaystyle
\mathrm{Hom}_{\mathrm{Grp}}(G,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\simeq K^\times/K^{\times n}
が成立する.

また, 以下のようにしてGはAbel群であることがわかります. K\sqrt[n]{K^\times}で生成されているので, GL=K(\sqrt[n]{K^\times})への作用は各a\in\sqrt[n]{K^\times}への作用によって定まります. ここで各\sigma\in G,a\in\sqrt[n]{K^\times}に対してa^n\in Kなので

\displaystyle
\left(\frac{\sigma a}{a}\right)^n=\frac{\sigma a^n}{a^n}=1
であることから\zeta_{\sigma,a}\in\mu_nが一意に定まって

\displaystyle
\sigma a=\zeta_{\sigma,a} a
となります. また, \sigma,\tau\in Gに対して, \zeta_{\tau,a}\in\mu_n\subseteq Kより

\displaystyle
\zeta_{\sigma\tau,a}=\frac{\sigma\tau a}{a}=\frac{\sigma\tau a}{\sigma a}\frac{\sigma a}{a}=\sigma(\zeta_{\tau,a})\zeta_{\sigma,a}=\zeta_{\tau,a}\zeta_{\sigma,a}
であるので

\displaystyle
\sigma\tau a=\zeta_{\sigma\tau,a}a=\zeta_{\sigma,a}\zeta_{\tau,a}a=\zeta_{\tau,a}\zeta_{\sigma,a}a=\zeta_{\tau\sigma,a}a=\tau\sigma a
となり, これが任意のa\in\sqrt[n]{K^\times}に対して成立するので可換性が示せます. また任意の\sigma\in Gに対して

\displaystyle
\sigma^n a=\zeta_{\sigma,a}^n a=a

より\sigma^n=1であることより


\mathrm{Hom}_{\mathrm{Grp}}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})=\mathrm{Hom}_{\mathrm{Grp}}(G,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})

であることがわかり, Gは有限Abel群なので, 非標準的な(標準的ではないことに注意!)同型\mathrm{Hom}_{\mathrm{Grp}}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})\simeq Gから, 次の定理が得られます:


定理
G\simeq K^\times/K^{\times n}


参考文献

[1] Jürgen Neukirch 『代数的整数論』, 丸善出版株式会社, 2012
[2] 加藤和也 黒川信重 斎藤毅 『数論I』, 岩波書店, 2005
[3] 雪江明彦 『代数学2』, 日本評論社, 2010
[4] 志甫淳 『層とホモロジー代数』, 共立出版, 2016
[5] Grégory Berhuy "An Introduction to Galois Cohomology and its Applications", Cambridge University Press, 2010

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春眠です。最近学んだことをアウトプットすることが健康にいいと聞いたのでブログをはじめてみました。自分のためのアウトプットなので殆どの記事が自己満足に終始したものになると思いますが何卒ご了承ください。 なお、私は数学をただ趣味でやっているだけのものですので記事の信憑性は保証しかねます。間違い等ございましたら連絡していただけると幸いです。 Twitter: @algebraic_ghost